数学三大危机（三次数学危机如何破解？）

数学，一门我们从小就学习的学科。在90后的小学印象中，语文和数学是同等重要的学科。前者是生活必备语言，后者是逻辑基础工具。

也许我们不知道数的概念是从什么时候开始的。我们甚至不知道数学是源于文明的兴起，还是源于人类意识中感性经验的逻辑基础。

结计数是人类数学工具的最早应用。这是多么简洁明了的数学表达啊。

从一开始，人类对自然界就一直有着简单的认识。比如上帝造人，世界是圆的，物质可以无限细分。这些原始的思想体现在数学上，就是简单的整数观。

古人更愿意相信整数可以代表自然界的一切事物。直到毕达哥拉斯发现了勾股直角三角形定理，人类对数字的认识才第一次有了颠覆性的变化。

对于一个直边长为1的等腰直角三角形，其斜边的长度为根号2，但人们在计算根号2的具体数值时却是心急如焚。他们发现这个数字可能很长。不管算多久，好像都是没完没了。这是人类发现的第一个无理数。

在毕达哥拉斯之前的古希腊哲学中，整数代表了自然的和谐与整洁之美。树根的出现无疑打破了自然质朴的美感。

古人开始研究无理数，不再局限于整数的束缚。对无理数的研究也让人类第一次思考了无穷的概念。比如一条线段无限分割，总有一个无理的长度。

在此期间，芝诺还提出了四个悖论，简称芝诺悖论。

其中，芝诺的乌龟尤为著名。你追不上海龟，即使你是闪电。因为追乌龟的时候，总要追到乌龟行程的一半。当你赶上这一半的时候，乌龟又前进了，你要赶上新旅程的那一半。此时，你会被卷入乌龟旅程一半的漩涡，无法逃脱。

但这个结果与事实大相径庭。正是因为这个悖论，人类不得不思考无限的概念和意义。

现在我们一眼就能看出芝诺悖论的弊端。线段的无限等分必然要花费无限的时间，运动员的时间是有限的。我们不可能在有限的时间里做无限的事情，所以在追乌龟的时候不会陷入乌龟行程一半的逻辑漏洞。

无理数和无穷概念的研究和拓展成功化解了第一次数学危机，人类开始探索新的数学领域。

就这样，整个数学基础花了2000多年，直到牛顿。我们知道微积分是由牛顿和莱布尼茨创立的。有了微积分，当时的人们可以解决很多前所未有的问题，比如精确测量边界曲折的陆地面积，测量一条曲线的长度等。

微积分的基本思想是无限细分和积分。微积分中总是出现无穷逼近的概念。比如无穷小和0的区别，当时的人在某些情况下直接用无穷小当0，但并不知道其中涉及的数学意义。

牛顿时代的人还不能完全理解微分、积分、导数的内在含义。

比如，我们计算曲线某一点的切线斜率，就可以在这个点附近取一个边无限小的直角三角形等价替换，用这个直角三角形斜边的斜率来代替。

当时人们一直认为，即使一个直角的边长很小，它们的比值也不过是这个直角三角形斜边的斜率。这条斜边的斜率怎么可能直接等于曲线这一点的切线斜率？理论上曲线某点的切线不是这个直角三角形的斜边，所以不能划等号！

事实上，牛顿时代的人混淆了导数和微分的区别。曲线A点周围的直角三角形斜边的斜率(直角边无限小)只是无限接近A点切线的斜率，它无限小，无限接近0。我们不想穷，不想小，我们要0。同样，我们要的不是这个直角三角形斜边无限逼近某个值的斜率，而是A点切线的斜率，我们知道直角三角形斜边的上限或下限无限逼近B值，直角三角形斜边也无限逼近曲线A点切线的斜率。那么我们就可以得出结论，曲线A点的切线斜率就是直角三角形斜边无限趋近的值，也就是b。

举个很简单的例子，现在有两个土豪，土豪A和土豪b。

我们可以知道土豪B的资产数量，但是我们不知道土豪A的资产数量，土豪A说:土豪B的资产总是无限接近我，但是达不到我的资产。

而土豪B说我的资产很难计算，大概9999万999999......元，反正无限接近1亿。那么我们可以直接得出:土豪A的资产是1亿。

第二个数学危机在于对微积分的理解偏差。

第二次学第三次数学危机需要200多年。

第三个数学危机是人们对集合论的怀疑。始于1897年福尔西发现的集合论悖论，后为康托发现的第二个悖论。直到罗素提出罗素悖论，集合论的怀疑才发展到极致。

它也因罗素悖论而闻名。在《罗素悖论》中，一个傲慢的理发师在店前写了一则广告:“我技术娴熟，只给所有不能给他们理发的人理发，以满足各种挑剔的需求。我们都在这里理发吧！”。

那么问题来了，这个理发师会理发吗？如果你去理发，那么它就不是它所宣传的那样:它只为那些不能自己理发的人服务。如果理发师不自己理发，那么他就违反了广告:只给不会自己理发的人理发。

罗素

很多人说罗素悖论只是集合定义的诡辩。但直到现在，也没有人能完美解决这种所谓的诡辩。

罗素悖论更像是哲学的本体论，是唯心主义和唯物主义的分野。让我们从本体论的角度来解读罗素悖论。

如果我是主观唯心主义，我说世界只是我的表象，无边无际的宇宙只是我的意识为了我的享受而想象出来的“虚假之地”。

那么问题来了，“我”这个概念也是意识想象出来的幻觉吗？如果是，“我质疑‘我’这个概念的思想，是不是也是意识想象出来的？如果是这样，那么“我对‘我怀疑我的思想’的质疑也是一种有意识的幻想...如果是，那我的自觉能动性还存在吗？意识在哪里？我的第一第二意识很难想象我的第二意识吗？似乎只要一想到自己的意识，意识的本体就自动退却，从而完美地避免了自己的意识被自己实现。那么你的意识是什么，它还存在吗？如果你的意识存在，请解释一下刚才的矛盾。如果你的意识不存在，那么这个世界就不会是你宣称的理想主义，这和你一开始自称理想主义的口号并不矛盾。

罗素悖论，就像这个问题一样，一开始总是把自己置身事外，从另一个角度看待事物中间的自己。那么你是加入还是退出呢？