康托罗维奇：对线性规划方法的开创性贡献

张乐

列奥尼德·康托罗维奇，苏联经济学家，于1912年1月出生于俄国彼得堡。1926年他考入列宁格勒大学数学系，1930年毕业。康托罗维奇在大学读书时期由于对函数论的兴趣，就着重培养自己这方面的研究能力，写出不少关于函数论和集（合）论方面的着作，并大量发表在国外。康托罗维奇从20岁开始就专心钻研解析函数论，解析函数论是函数论中复变函数的主要分支。1934年，康托罗维奇在毕业四年后凭借自己的数学成就升任列宁格勒大学教授。1935年，他23岁时未经论文答辩就获得了列宁格勒大学博士学位。

他随后又坚持不懈地钻研泛函分析，这是关于函数的抽象空间理论。他紧紧围绕函数论、解析函数论和泛函分析一步步深入研究，为后来在数学和经济学中作出重大贡献奠定了坚实基础。

康托罗维奇的研究成果主要表现在：

利用解乘数法求解线性规划问题。1937年，胶合板托拉斯派来一些代表请康托罗维奇为其解决压纸胶合板产量的一个难题。代表们描述的问题要旨为：托拉斯有八台不同类型的机器，每台机器能够生产五种不同型号的胶合板。每种类型的机器能够生产的这五种胶合板的能力不同；各种不同的胶合板的生产率是由现有的需求量基数决定的。为根据所需比例获得最大数量的全套胶合板，应怎样选用不同类型的机器？

列出这类问题的数学方程式是简单的，但是想利用拉格朗日乘数的常规数学分析来求解则行不通，因为涉及到成千上万个联立方程组。康托罗维奇发挥了在数学方面的才华，提出了“解乘数法”这一计算方法，代替求解M×N个未知变量，只需求解M个乘数λ，便可解决整个问题。他于1938年首次提出求解线性规划问题的方法——解乘数法，这对现代应用数学和经济学的发展有着深远的影响。

康托罗维奇指出，提高企业的劳动效率有两个途径，一是技术上的各种改进，二是生产组织和计划方面的改革。过去，由于没有必要的计算工具，后者很少被利用。解乘数法的提出，对于求解线性规划问题，进而为科学地组织和计划生产提供了条件。康托罗维奇将该方法推广应用于一系列实践，诸如合理地分配机床机械的作业，最佳地利用原材料和燃料，最大限度地减少废料，最适当地安排农作物的布局，有效地组织货物运输等。解决上述问题的一般步骤为建立数学模型，根据问题条件，将生产目标、资源约束、所求变量三者间的数量关系用线性方程式表达出来并求解。这类模型通常被称为“康托罗维奇问题数学模型”。

最优化理论。康托罗维奇不仅研究一个企业范围内如何科学地组织和计划生产的问题，他还研究了企业间以及整个国民经济范围内如何运用线性规划方法。

康托罗维奇通过建立资源最优利用的线性数学模型，应用解乘数法求解出各种乘数。他认识到这些乘数在衡量资源稀缺程度、最合理地选择生产方法、编制国民经济最优计划以及使国家整体利益和企业局部利益相互协调等方面具有独特作用。于是，他将这些乘数λ称为“客观制约估价”。客观制约估价包括对各种产品的估价和对各种资源的估价。康托罗维奇提出的客观制约估价可以实现全社会范围的资源最优分配和利用。

在现有资源条件下，全社会能够以最小的劳动消耗，获得最大限度的生产量，由此得出的生产计划叫做最优计划。有时把客观制约估价称为最优计划价格，这体现了他对资源最优利用理论的革新、推广和发展。

随机规划。线性规划模型中有一个非常重要的假定，即系数a和资源b都是肯定型数据。在经济系统的基本特征不发生重大变化时，该假定可以成立，但在长期计划中，误差则不可避免地存在。

康托罗维奇认为未来自然资源、新技术、农作物产量、需求等都是随机变量，只能以某种概率知道一个可能的数值范围。长期计划如果不考虑参数的随机性，计划决策可能会犯严重错误。

康托罗维奇将随机规划应用于制定最优计划。他提出了一个二阶段随机规划模型，即在不确定的条件下建立选择计划的模型，第一阶段是选择使执行计划所预期的花费最小，第二阶段是选择从原计划及其调整中所获得的平均效果最大。多阶段随机规划模型的思路与二阶段模型相似。

康托罗维奇在经济学领域的最大成就在于他将资源最优利用这一传统经济学问题，由定性研究和一般定量分析推进到现实计量阶段，对现代经济应用数学的重要分支——线性规划方法的建立和发展作出了开创性贡献。

1975年，由于对资源最优分配理论作出的贡献，康托罗维奇与美国经济学家佳林·库普曼斯共同获得诺贝尔经济学奖，成为第一个获此殊荣的前苏联经济学家。63岁的康托罗维奇在领取诺贝尔奖奖金时发表了《数学在经济中的应用：成就、困难、前景》的演讲，他表示：“尽管困难重重，我依然乐观地期待着数学方法，尤其是那些最优规划方法，在经济学及各级经济控制上的普及。它可以给我们的规划活动带来显着改善，能让我们更好地利用资源、增加国民收入、提高生活水平。”

康托罗维奇的主要着作包括：《生产组织与计划的数学方法》（1939）、《求解某些极值问题的一种有效方法》（1940）、《大宗货物的调运问题》（1942）、《工业材料合理剪裁的计算》（1951）、《资源最优利用的经济计算》（1959）、《最优计划动态模型》（1964）、《远景计划最优模型》（1965）、《最优计划的数学问题》（1966）、《经济最优决策》（1972）等。