国学经典,永久流传《诗经朗诵全集》
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2023-07-31
tanx是一个奇函数。那么到底是怎么判断的呢?下面我们就以tanx为例,来分析函数奇偶性的几种判断办法。
方法一是根据函数的图像来判断。如果函数的图像关于原点对称,那么这个函数就是奇函数;而如果函数的图像关于y轴对称,那么这个函数就是。按理来说,根据图像判断是最直观的。其实不然!因为很多奇函数的定义域是在R上的,而我们是无法直观看到R上的函数图像全貌的,而象tanx这样,定义在不连续的无限区间上的函数,它的图像也不可能完整的呈现在我们面前。既然这样,我们又凭什么断定它关于对称呢?这就需要我们结合一定的想象力或者结合函数的其它性质了,因此说,其实凭着图像判断函数的奇偶性,未必非常直观。当然,tanx具有周期性,我们根据它的周期性以及在原点所在的周期内关于原点对称,就可以判断它是一个奇函数。
另外,凭借函数图像判断函数的奇偶性还有一点容易出问题的地方,那就是不论奇函数,还是偶函数,它们的定义域都必须是一个对称区间,如果区间不对称,函数就不可能有奇偶性。但是有时候靠肉眼判断,会有疏忽,因此容易搞错。
方法二是利用奇函数的定义,来判断一个函数是不是奇函数。奇函数的定义是,若函数f的定义上任一点x,都有f(-x)=-f(x),那么这个函数就是奇函数。事实上,定义已经保证了函数在对称的区间上关于对称。
用定义判断tanx是一个奇函数,还要借助sinx和cosx的奇偶性。其中sinx是一个奇函数,cosx是一个偶函数,即sin(-x)=-sinx,cos(-x)=cosx。而tanx=sinx/cosx,所以tan(-x)=sin(-x)/cos(-x)=-sinx/cosx=-tanx。由定义就可以知道tanx是一个奇函数。
第三种方法是根据奇偶函数的运算规律判断的,一个奇函数除以一个偶函数,若所表示的函数的定义域仍是一个对称区域,则商所表示的函数是一个奇函数。tanx就是一个奇函数除以一个偶函数得到的。
最后,我们也可以根据它的导数的奇偶性来判断,因为一个函数,如果它的导函数是偶函数,那么它本身就是奇函数。tanx的导数是(secx)^2,而(secx)^2是一个偶函数,所以tanx是一个奇函数。
这么多判断函数奇偶性的方法,你都掌握了吗?如有错漏,欢迎指正、补充。
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