1是质数吗（1-100之间有多少个素数）

前序

很小的时候就听说了这么一个命题：证明0不等于1。当时觉得数学家很无聊，这么明显的问题都要去证明。后来看了代数方面的书籍之后，才发现其中的奥秘。

其实，数学是很抽象的学科，特别是里面有各种各样的定义和符号，比如：素数、欧式空间、黎曼积分、域……而且这些定义有着强烈的依赖性，比如，如果你不了解什么是“相关性”，那么肯定也不会认清楚“矩阵的秩”的概念。

很多流行的数学问题，都是经过“美化”的。比如著名的哥德巴赫猜想“1+1=2”。此处的1并不是我们常规理解的1，而是代表一个素数；2代表可以写成两个数（1之外的数）的乘积的偶合数。1即不可再分，2可以分成两个之乘积。“1+1=2”表达的意思就是：任何偶合数都可以写成两个素数相加的形式。数学问题的“美化”，一方面增加的问题的流传性，另一方面，也说明了在数学的眼中，一切都是符号，只是赋予不同意义而已。

好了，回到我们的主题，证明0不等于1。

此处的0不止是简单的0，而是代表“零元”；1也不止是简单的1，而是代表“单位元”。命题完整表述为：在非平凡带单位元环（幺环）中，零元不可能等于单位元。

以下慢慢展开。

半群

在一个集合A中，定义二元运算*，满足下面两个条件：

1）任意A中的元素a，b，使得a*b也是属于A中的元素（二元运算封闭性）；

2）任意A中的元素a，b，c，有 (a*b)*c=a*(b*c) （二元运算结合性）

那么集合A和二元运算*就构成了一个叫做“半群”的代数结构。

自然数上的加法和乘法满足上面的条件，所有构成了“自然数加法半群”和“自然数乘法半群”。

带幺半群

如果在半群中，存在A中一个元素e，使得A中任意元素a，满足：a*e=e*a=a

那么这样的半群就叫做带幺半群。相应的e称为幺元。

（此处略去证明幺元的唯一性）

自然数加法半群中的幺元是0，自然数乘法半群的幺元是1.

群

既然有幺元，那么我们考虑这么一个问题：a*x=e

即对于元素a，是否存在一个元素x，使得它们的二元运算等于幺元e呢？

如果存在这样的x，那么x就叫做a的逆元。

如果带幺半群中，集合A的所有元素都有逆元，那么就升级为一个“群”。

自然数加法带幺半群显然就不能构成群了，但是将集合扩展至整数，即构成整数加法群；

（自然数乘法带幺半群，需要将集合扩展至正实数（要去掉0），即正实数乘法群）

交换性

如果对集合A中的任意元素a，b，有 a*b=b*a，则二元运算*在集合A上具有交换性。带有交换性的上述代数结构，就是：交换半群、带幺交换半群和交换群（阿贝尔群）。

上面的代数结构都是一个集合带一个运算，我们现在考察一个集合带两个运算的代数结构--环。

环

集合A，以及其上定义的两个二元运算+和*，如果满足下面三个条件：

1）集合A和二元运算+构成一个交换群；

2）集合A和二元运算*构成一个半群；

3）集合A中任意元素a，b，c，有：(a+b)*c=a*c+b*c c*(a+b)=c*a+c*b

那么集合A与两个二元运算就构成了“环”这个代数结构。

如果2）中构成一个带幺半群，那么这个环就是：带单位元环（幺环）。

为了区分幺元，将运算+中的幺元叫做“零元”，而将运算*中的幺元叫做“单位元”。

那么，这两个元有没有可能是同一个元素呢？

将带单位元环（幺环）中的“零元”写成0，“单位元”写成1，即有没有可能0=1呢？

证明

对于集合A中的任意元素a

同理可以证明：0*a=0 （二元运算*还没有交换性）

如果 0=1，那么

也就是说如果 0=1，那么集合A中就只有一个元素0，那研究起来意义不是很大，所以称之为平凡的。

结论

所以，对于非平凡的带单位元的环（幺环），0不可能等于1。

外延

曾经网上有这么一个问题：1*0=0*1=0，到底是0乘以任何数都得0，还是1乘以任何数都得原数？

这应该要看你研究的代数结构，从上面的代数结构看，“1乘以任何数都得原数”只需要是一个带幺半群，而“0乘以任何数都得0”是幺环的一个结论，明显带幺半群需要的条件更少一点，所以我偏向后者。

当然，你可以从“0乘以任何数都得0”去构建一个代数结构，也可以从“1乘以任何数都得原数”去构建另一个代数结构，出发点不同，结论当然也就不同。